首页 > 已知函数f(x)=cos(-x2)+sin(π-x2)，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=2105，b=1，c

已知函数f(x)=cos(-x2)+sin(π-x2)，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=2105，b=1，c

题目简介

已知函数f(x)=cos(-x2)+sin(π-x2)，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=2105，b=1，c

题目详情

已知函数f(x)=cos(-
x
2
)+sin(π-
x
2
)，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=
2
10
5
，b=1，c=2，求△ABC的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(-class="stub"x
2
)+sin(π-class="stub"x
2
)=cosclass="stub"x
2
+sinclass="stub"x
2
=
2
sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
4
)
∴函数f（x）的最小正周期T=4π，
又由2kπ-class="stub"π
2
≤class="stub"x
2
+class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"π
2
，∴4kπ-class="stub"3π
2
≤x≤4kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)
可得函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-class="stub"3π
2
，4kπ+class="stub"π
2
](k∈Z)．…（6分）
（Ⅱ）解法一：由f(A)=
2
10
5
及（Ⅰ）可得sin(class="stub"A
2
+class="stub"π
4
)=
2
5
5
，
所以cos[2(class="stub"A
2
+class="stub"π
4
)]=1-2sin2(class="stub"A
2
+class="stub"π
4
)=-class="stub"3
5
，
即sinA=class="stub"3
5
，∴S△ABC=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"3
5
．…（12分）
解法二：由f(A)=
2
10
5
及（Ⅰ）可得sin(class="stub"A
2
+class="stub"π
4
)=
2
5
5
，
即sinclass="stub"A
2
+cosclass="stub"A
2
=
2
10
5
，
∴(sinclass="stub"A
2
+cosclass="stub"A
2
)2=class="stub"8
5
，即sinA=class="stub"3
5

∴S△ABC=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"3
5
．…（12分）

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