已知函数f(x)=2sinx4cosx4-23sin2x4+3.(1)求函数f(x)的最大值,并写出相应的x取值集合;(2)令f(α+π3)=105,且α∈(0,π),求tan2α的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sinx4cosx4-23sin2x4+3.(1)求函数f(x)的最大值,并写出相应的x取值集合;(2)令f(α+π3)=105,且α∈(0,π),求tan2α的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
-2
3
sin2
x
4
+
3

(1)求函数f(x)的最大值,并写出相应的x取值集合;
(2)令f(α+
π
3
)=
10
5
,且α∈(0,π),求tan2α的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=2sinclass="stub"x
4
cosclass="stub"x
4
-2
3
sin2class="stub"x
4
+
3
=sinclass="stub"x
2
+
3
cosclass="stub"x
2
=2sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
3
),…(2分)
∴f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
class="stub"1
2
=4π.…(4分)
因为,-1≤sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
3
)≤1 所以,f(x)的最大值为2.…(6分)
相应值的集合为{x|x=4kπ+class="stub"π
3
,k∈Z}  …(7分)
(2)由(Ⅰ)知,f(x)=2sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
3
),f(α+class="stub"π
3
)=
10
5

2sin[class="stub"1
2
(α+class="stub"π
3
)+class="stub"π
3
]=2sin(class="stub"α
2
+class="stub"π
2
)=2cosclass="stub"α
2

∴2cosclass="stub"α
2
=
10
5
,所以cosclass="stub"α
2
=
10
10
,cosα=2cos2α-1=-class="stub"4
5
       …(10分)
又因为α∈(0,π),所以sinα=
1-cos2α
=class="stub"3
5

∴tanα=class="stub"sinα
cosα
=-class="stub"3
4

∴tan2α=class="stub"2tanα
1-tan2α
=-class="stub"24
7
              …(13分)

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