已知α、β是锐角,α+β≠π2,且满足3sinβ=sin(2α+β).(1)求证:tan(α+β)=2tanα(2)求tanβ的最大值,并求取得最大值时tanα的值.-数学

题目简介

已知α、β是锐角,α+β≠π2,且满足3sinβ=sin(2α+β).(1)求证:tan(α+β)=2tanα(2)求tanβ的最大值,并求取得最大值时tanα的值.-数学

题目详情

已知α、β是锐角,α+β≠
π
2
,且满足3sinβ=sin(2α+β).
(1)求证:tan(α+β)=2tanα
(2)求tanβ的最大值,并求取得最大值时tanα的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:由3sinβ=sin(2α+β)得:
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
⇒3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
⇒sin(α+β)cosα=2c0s(α+β)sinα
∵知α、β是锐角,α+β≠class="stub"π
2

sin(α+β)cosα
cos(α+β)cosα
=
2cos(α+β)sinα
cos(α+β)cosα
⇒tan(α+β)=2tanα
(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=
tan(α+β)-tanα
1+tan(α+β)tanα
=class="stub"tanα
1+2(tanα)2
=class="stub"1
class="stub"1
tanα
+2tanα

又因为α是锐角
所以class="stub"1
tanα
+2tanα≥2
class="stub"1
tanα
•2tanα
=2
2
,当且仅当class="stub"1
tanα
=2tanα
时取等号,此时tanα=
2
2

故tanβ≤class="stub"1
2
2
=
2
4

所以:当tanα=
2
2
时,tanβ=
2
4

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