首页 > 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求3sinA+sin(C-π6)的取值范围．-数学

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求3sinA+sin(C-π6)的取值范围．-数学

题目简介

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求3sinA+sin(C-π6)的取值范围．-数学

题目详情

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求
3
sinA+sin(C-
π
6
)的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：太原一模

答案

由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，所以B=60°（3分）
（Ⅰ）由b2=a2+c2-2accos60°=（a+c）2-3ac，
即72=132-3ac，得ac=40（5分）
所以△ABC的面积S=class="stub"1
2
acsinB=10
3
；（6分）
（Ⅱ）因为
3
sinA+sin(C-class="stub"π
6
)=
3
sinA+sin(class="stub"π
2
-A)
=
3
sinA+cosA=2sin(A+class="stub"π
6
)，（10分）
又A∈（0，class="stub"2π
3
），∴A+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
)，
则
3
sinA+sin(C-class="stub"π
6
)=2sin(A+class="stub"π
6
)∈(1，2]．（12分）

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