首页 > 已知函数f（x）=x+4x+4（x≥0），数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为13的等比数列．（1）求

已知函数f（x）=x+4x+4（x≥0），数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为13的等比数列．（1）求

题目简介

已知函数f（x）=x+4x+4（x≥0），数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为13的等比数列．（1）求

题目详情

已知函数f（x）=x+4
x
+4（x≥0），数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an），（n∈N*），数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为
1
3
的等比数列．
（1）求证：数列{
an
}为等差数列；
（2）若cn=
an
•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）=x+4
x
+4=(
x
+2)2（x≥0），
∴an+1=f（an）=(
an
+2)2，即
an+1
-
an
=2 （n∈N*）．
∴数列{
an
}是以
a1
=1为首项，公差为2的等差数列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：
an
=1+（n-1）2=2n-1，即 an=（2n-1）2（n∈N*）．…（5分）
b1=1，当n≥2时，bn-bn-1=(class="stub"1
3
)n-1，∴bn=b1+（ b2-b1）+（ b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn-bn-1）
=1+class="stub"1
3
+(class="stub"1
3
)2+…+(class="stub"1
3
)n-1=class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
)，因而 bn=class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
)，n∈N*．…（7分）
∴cn=
an
•bn=（2n-1）•class="stub"3
2
(1-class="stub"1
3n
)，∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=class="stub"3
2
[1+3+5+…+（2n-1）-（class="stub"1
3
+class="stub"3
32
+class="stub"5
33
+…+class="stub"2n-1
3n
）]．
令Tn=class="stub"1
3
+class="stub"3
32
+class="stub"5
33
+…+class="stub"2n-1
3n
 ①，则 class="stub"1
3
Tn=class="stub"1
32
+class="stub"3
33
+class="stub"5
34
+…+class="stub"2n-3
3n
+class="stub"2n-1
3n+1
 ②…（9分）
①-②，得 class="stub"2
3
Tn=class="stub"1
3
+2（class="stub"1
32
+class="stub"1
33
+class="stub"1
34
+…+class="stub"1
3n
）-class="stub"2n-1
3n+1
=class="stub"1
3
+class="stub"1
3
（1-class="stub"1
3n-1
）-class="stub"2n-1
3n+1
，…（10分）
∴Tn=1-class="stub"n+1
3n
．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n2．…（11分）
∴Sn=class="stub"3
2
（n2-1+class="stub"n+1
3n
）．…（12分）

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