已知f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7（n∈N*），（1）设f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列．（2）设f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求

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已知f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*），
（1）设f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{a_n}，求证：{a_n}为等差数列．
（2）设f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{b_n}，求{b_n}的前n项和．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7（n∈N*），
f（x）的图象的顶点的纵坐标为

4ac-b2

=3n-8
即an=3n-8（n∈N*），
故{an}为一个以-5为首项，以3为公差的等差数列
（2）由（1）及f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，
则bn=|an|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8＜0，bn=|3n-8|=8-3n b1=5 b2=2
n≥3时3n-8＞0 bn=|3n-8|=3n-8
Sn=b1+b2+b3+…+bn
=5+2+（3×3-8）+（3×4-8）…+（3n-8）
=7+3×（3+4+5+…+n）-8（n-2）
=7+

3(n+3)(n-2)

-8（n-2）
=7+

(n-2)(3n+9-16)

=7+

(n-2)(3n-7)

．
∴Sn=7+

(n-2)(3n-7)

．

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已知f（x）=x2-2（n+1）x+n2+5n-7（n∈N*），（1）设f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列．（2）设f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求

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