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已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的

题目简介

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数λ，使得数列{an+λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的

题目详情

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且a4=81
（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{
an+λ
2n
}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列an通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由an=2an-1+2n-1（n≥2）⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得a2=13，a1=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
必为与n无关的常数
∵
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
=
an-2an-1-λ
2n
=
2n-1-λ
2n
=1-class="stub"1+λ
2n
（5分）
要使
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
是与n无关的常数，则class="stub"1+λ
2n
=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{
an+λ
2n
}为等差数列（8分）
由（2）知数列{
an+λ
2n
}的公差d=1，∴
an-1
2n
=
a1-1
21
+(n-1)•1=n+1
得an=（n+1）•2n+1（13分）

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