首页 > 已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=k-1+k．-数学

已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=k-1+k．-数学

题目简介

已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=k-1+k．-数学

题目详情

已知an=(1+
2
)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b
2
(a，b∈Z)，求证：a是奇数；
（2）求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=
k-1
+
k
．
题型：解答题难度：中档来源：江苏二模

答案

（1）由二项式定理，得an=(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
(
2
)1+
C2n
(
2
)2+
C3n
(
2
)3+…+
Cnn
(
2
)n，
又an=a+b
2
（a，b∈Z），
∴a=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…，
∵2
C2n
+22
C4n
+…为偶数，
∴a是奇数．…（4分）
证明：（2）由（1）设an=(1+
2
)n=a+b
2
（a，b∈Z），
则(1-
2
)n=a-b
2
（a，b∈Z），…（5分）
∴a2-2b2=（a+b
2
）（a-b
2
）=(1+
2
)n•(1-
2
)n=（1-2）n，…（6分）
当n为偶数时，a2=2b2+1，存在k=a2，使得an=a+b
2
=
a2
+
2b2
=
k
+
k-1
，…（8分）
当n为奇数时，a2=2b2-1，存在k=2b2，使得an=a+b
2
=
a2
+
2b2
=
k-1
+
k
，…（9分）
综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=
k-1
+
k
．   …（10分）

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