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已知数列{an}中a1=35，an=2-1an-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}，满足bn=1an-1（n∈N*）．（1）求证数列{bn]是等差数列；（2）若Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a

题目简介

已知数列{an}中a1=35，an=2-1an-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}，满足bn=1an-1（n∈N*）．（1）求证数列{bn]是等差数列；（2）若Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a

题目详情

已知数列{an}中a1=
3
5
，an=2-
1
an-1
（n≥2，n∈N*），数列{bn}，满足bn=
1
an-1
（n∈N*）．
（1）求证数列{bn]是等差数列；
（2）若Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1），则Sn是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值与最小值，若没有说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意知bn=class="stub"1
an-1
，∴bn-bn-1=
an-1
an-1-1
-class="stub"1
an-1-1
=1（n∈N*），
∴数列{bn]是首项为b1=class="stub"1
a1-1
=-class="stub"5
2
，公差为1的等差数列．
（2）依题意有．an-1=class="stub"1
n-class="stub"7
2

Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1）=-class="stub"2
5
-class="stub"1
n-class="stub"5
2
，
设函数y=class="stub"1
x-class="stub"5
2
，则函数在（class="stub"5
2
，+∞）上为减函数．
Sn在[3+∞）上是递增，且Sn＜-class="stub"2
5
，故当n=3时，且Sn=-class="stub"2
5
-class="stub"1
n-class="stub"5
2
，取最小值-class="stub"12
5
．
而函数y=class="stub"1
x-class="stub"5
2
在（-∞，class="stub"5
2
）上也为减函数，Sn在（1，2]上是递增，且Sn＞-class="stub"2
5
，
故当n=2时，Sn取最大值：S2=class="stub"8
5
．Sn的最大值为class="stub"8
5
．

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