已知数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列,Sn是其前n的和,a1,2a7,3a4成等差数列.(1)求q3的值;(2)证明:12S3,S6,S12-S6成等比数列.-数学

题目简介

已知数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列,Sn是其前n的和,a1,2a7,3a4成等差数列.(1)求q3的值;(2)证明:12S3,S6,S12-S6成等比数列.-数学

题目详情

已知数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列,Sn是其前n的和,a1,2a7,3a4成等差数列.
(1)求q3的值;
(2)证明:12S3,S6,S12-S6成等比数列.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵a1,2a7,3a4成等差数列,
∴4a7=a1+3a4,又数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列,
∴4aq6=a+3aq3,
整理得:4(q3)2-3q3-1=0,即(4q3+1)(q3-1)=0,
解得:q3=-class="stub"1
4
或q3=1(舍去),
则q3=-class="stub"1
4

(2)∵q3=-class="stub"1
4

S6
12S3
=
a1(1-q6)
1-q
12a1(1-q3)
1-q
=
1+q3
12
=class="stub"1
16

S12-S6
S6
=
S12
S6
-1=
a1(1-q12)
1-q
a1(1-q6)
1-q
-1

=1+q6-1=q6=class="stub"1
16
=
S6
12S3

∴S62=12S3•(S12-S6),
则12S3,S6,S12-S6成等比数列.

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