首页 > 已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）设bn=an•an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100520

已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）设bn=an•an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100520

题目简介

已知数列{an}中a1=1，an+1=an2an+1（n∈N+）．（1）求证：数列{1an}为等差数列；（2）设bn=an•an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100520

题目详情

已知数列{an}中a1=1，an+1=
an
2an+1
（n∈N+）．
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）设bn=an•an+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞
1005
2012
的最小正整数n．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：由a1=1与an+1=
an
2an+1
得an≠0，class="stub"1
an+1
=
2an+1
an
=2+class="stub"1
an
，
所以对∀n∈N+，class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=2为常数，
故{class="stub"1
an
}为等差数列；
（2）由（1）得class="stub"1
an
=class="stub"1
a1
+2(n-1)=2n-1，
bn=an•an+1=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，
所以Sn=b1+b2+…+bn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
，
由Sn＞class="stub"1005
2012
即class="stub"n
2n+1
＞class="stub"1005
2012
，得n＞class="stub"1005
2
=502class="stub"1
2
，
所以满足Sn＞class="stub"1005
2012
的最小正整数n=503．

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