如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A.求证:BD=2CD.-数学

题目简介

如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A.求证:BD=2CD.-数学

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如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A.求证:BD=2CD.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:作DOAB交AC于O.
则由AB=AC易知OD=OC,且∠DOC=∠BAC=2∠CED,
所以O为△EDC的外心,
取F为△EDC的外接圆与AC的交点,连接DF,则OF=OC=OD,∠ACE=∠ADF.
所以△ACE△ADF,即有class="stub"AD
AC
=class="stub"AF
AE

再由DOAB,∠ADO=∠BAE,
∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB,
所以△ADO△ABE,
即得class="stub"OD
AE
=class="stub"AD
AB
=class="stub"AD
AC
=class="stub"AF
AE

故AF=OD=OC=class="stub"1
2
CF,从而AO=2OC.
由DOAB,得:BD=2CD.

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