如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E

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如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：∠BCD=2∠ABD；
（3）求证：E是△BCD的内心；
（4）若∠BCD=60°，求

的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：连接OD，
在△OCD和△OCB中，

CD=CB

OC=OC

OD=OB

，
∴△OCD≌△OBC（SSS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
即∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）证明：∵CD与BC都是⊙O的切线，
∴OC⊥BD，OB⊥BC，∠OCD=∠OCB=class="stub"1

∠BCD，
∴∠OCB+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OCB=∠ABD，
∴∠BCD=2∠ABD；

（3）证明：∵OC⊥BD，
∴

，
∴∠DBE=class="stub"1

∠BOE，
∵∠BOE+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠BOE，
∴∠DBE=class="stub"1

∠CBD，

∵∠OCD=∠OCB，且点E在OC上，
∴点E是△BCD的角平分线的交点，
即点E到△BCD的三边的距离相等；
∴E是△BCD的内心；

（4）∵∠BCD=60°，CD=CB，
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是△BCD的角平分线的交点，
∴点E是△BCD的中线的交点，
∴class="stub"EF

=class="stub"1

．

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如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，D是⊙O上一点，CD=CB，连AD，OC，OC交⊙O于E，交BD于P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：∠BCD=2∠ABD；（3）求证：E

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