首页 > 如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为______．-数学

如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为______．-数学

题目简介

如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为______．-数学

题目详情

如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

如图，连接OB、OD；
设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，
则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
则OD=BD•tan30°=1×
3
3
=
3
3
，OB=2OD=
2
3
3
，BG=OB-OG=
3
3
；
由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
故PG=class="stub"1
3
BG=
3
9
；
∴S⊙O=π×（
3
3
）2=class="stub"1
3
π，S⊙P=π×（
3
9
）2=class="stub"1
27
π；
∴S阴影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=
3
-class="stub"1
3
π-class="stub"1
9
π=
3
-class="stub"4
9
π．
故答案为
3
-class="stub"4
9
π．

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