首页 > 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC

题目简介

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=245，求BD和BC

题目详情

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=
24
5
，求BD和BC的长．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：连接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．

（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴class="stub"DO
AD
=class="stub"CO
AE
，
∴class="stub"DB+BO
AB+BD
=class="stub"CO
AE
，
∴class="stub"DB+3
6+BD
=class="stub"3
class="stub"24
5
，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴class="stub"EA
AC
=class="stub"AC
AB
，
∴
class="stub"24
5
AC
=class="stub"AC
6

∴AC2=class="stub"144
5
，
由勾股定理得：
BC=
6
5
5
．

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