已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______．-数学

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已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______．

题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即

sin(α+β)cosα

cos(α+β)

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)

∴tan（α+β）=2tanα （tanα≠0）
因为tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=class="stub"tanα

1+2tan2α

=class="stub"1

class="stub"1

tanα

+2tan α

显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=class="stub"1

class="stub"1

tanα

+2tan α

≤class="stub"1

class="stub"1

tanα

×2tanα

=class="stub"1

当且仅当tanα=

时取等号
综上所述，tanβ的最大值是

故答案为

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