已知等差数列{an}满足a3+a4=9,a2+a6=10;又数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首项为1,公比为89的等比数列的前n项和.(1)求an的表达式

题目简介

已知等差数列{an}满足a3+a4=9,a2+a6=10;又数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首项为1,公比为89的等比数列的前n项和.(1)求an的表达式

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已知等差数列{an}满足a3+a4=9,a2+a6=10;又数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=Sn,其中Sn是首项为1,公比为
8
9
的等比数列的前n项和.
(1)求an的表达式;
(2)若cn=-anbn,试问数列{cn}中是否存在整数k,使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立?并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:河西区二模

答案

(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4=9,a2+a6=10,
a1+2d+a1+3d=9
a1+d+a1+5d=10
,解得
a1=2
d=1

∴an=2+1×(n-1)=n+1.
(2)∵Sn是首项为1,公比为class="stub"8
9
的等比数列的前n项和,
∴nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(class="stub"8
9
)n-1+(class="stub"8
9
)n-2+…+class="stub"8
9
+1
,①
(n-1)b1+(n-2)b2+…+2bn-2+bn-1=(class="stub"8
9
)n-2+(class="stub"8
9
)n-3+
…+class="stub"8
9
+1
,②
①-②得b1+b2+…+bn=(class="stub"8
9
)n-1
,即Tn=b1+b2+…+bn=(class="stub"8
9
)n-1

当n=1时,b1=Tn=1,
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=(class="stub"8
9
)n-1-(class="stub"8
9
)n-2
=-class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-2

bn=
b1,当n=1时
-class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-2,当n≥2时
..
于是cn=-anbn
-2,当n=1时
class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-2×(n+1),当n≥2时

设存在正整数k,使得对∀n∈N*,都有cn≤ck恒成立.
当n=1时,c2-c1=class="stub"7
3
,即c2>c1.
当n≥2时,cn+1-cn=class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-1(n+2)
-class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-2(n+1)

=class="stub"1
9
×(class="stub"8
9
)n-2[class="stub"8
9
(n+2)-(n+1)]
=(class="stub"8
9
)n-2×class="stub"7-n
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∴当n<7时,cn+1>cn;
当n=7时,c8=c7;
当n>7时,cn+1<cn.
∴存在正整数k=7或8,使得对∀n∈N*,都有cn≤ck恒成立.

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