已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的

题目简介

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-

bn．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断n≥4时

与S_n+1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设an的首项为a1，∵a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，
∴

a2+a5=12

a2•a5=27

，∴

2a1+5d=12

(a1+d)(a1+4d)=27

∴a1=1，d=2，∴an=2n-1
n=1时，b1=T1=1-class="stub"1

b1，∴b1=class="stub"2

n≥2时，Tn=1-class="stub"1

bn，Tn-1=1-class="stub"1

bn-1，
两式相减得bn=class="stub"1

bn-1数列是等比数列，
∴bn=class="stub"2

•（class="stub"1

）n-1；
（2）Sn=

n[1+(2n-1)]

=n2，∴Sn+1=（n+1）2，class="stub"1

n≥4时，class="stub"1

＞Sn+1，证明如下：
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，class="stub"1

＞Sk+1，即

＞（k+1）2．
那么n=k+1时，class="stub"1

bk+1

3k+1

=3•

＞3（k+1）2=3k2+6k+3
=（k2+4k+4）+2k2+2k-1＞[（k+1）+1]2=S（k+1）+1，
∴n=k+1时，结论也成立．
由①②可知n∈N*，n≥4时，class="stub"1

＞Sn+1都成立．