设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1n(12-an)(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,均有Tn>m2-3m

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1n(12-an)(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,均有Tn>m2-3m

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
n(12-an)
(n∈N+),数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,均有Tn
m2-3m+7
20
,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=9n-n2-(-n2+11n-10)=-2n+10…(5分)
又a1=S1=8,适合上式 …(6分)
所以an=10-2n(n∈N*)…(7分)
(2)因为bn=class="stub"1
n(2n+2)
=class="stub"1
2
class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)…(10分)
所以Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
n+1
)…(12分)
又因为对任意的n∈N*,Tn>
m2-3m+7
20
恒成立,
所以(Tn)min>
m2-3m+7
20
…(13分)
因为当n=1时,(Tn)min=class="stub"1
4
,所以class="stub"1
4
m2-3m+7
20
…(14分)
解之得1<m<2 …(16分)

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