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> 已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立.(Ⅰ)求a1;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=2an-1,Tn为数列{anbn}的前n项
已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立.(Ⅰ)求a1;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=2an-1,Tn为数列{anbn}的前n项
题目简介
已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立.(Ⅰ)求a1;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=2an-1,Tn为数列{anbn}的前n项
题目详情
已知各项均为正实数的数列{a
n
}的前n项和为S
n
,4S
n
=a
n
2
+2a
n
-3对于一切n∈N
*
成立.
(Ⅰ)求a
1
;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ)设
b
n
=
2
a
n
-1
,
T
n
为数列
{
a
n
b
n
}
的前n项和,求证T
n
<5.
题型:解答题
难度:中档
来源:武昌区模拟
答案
(Ⅰ)当n=1时,4S1=4a1=
a
1
2
+2a1-3,,得
a
1
2
-4a1-3=0,
a1=3或a1=-1,由条件an>0,所以a1=3. …(2分)
(Ⅱ)当n≥2时,4Sn=
a
n
2
+2an-3,4sn-1=
a
n-1
2
+2an-1-3;
则4Sn-4Sn-1=
a
n
2
+2an-3-
a
n-1
2
-2an-1+3,
所以4an=
a
n
2
+2an-
a
n-1
2
-2an-1,
a
n
2
-2an-
a
n-1
2
-2an-1=0,
(an+an-1)(an-an-1-2)=0,…(4分)
由条件an+an-1>0,所以an-an-1=2,…(5分)
故正数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,
所以an=2n+1. …(6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)bn=
2
a
n
-1
=
2
2n+1-1
=2n,
a
n
b
n
=
class="stub"2n+1
2
n
,…(8分)
∴Tn=
class="stub"3
2
+
class="stub"5
2
2
+…+
class="stub"2n-1
2
n-1
+
class="stub"2n+1
2
n
,①…(9分)
将上式两边同乘以
class="stub"1
2
,得
class="stub"1
2
Tn=
class="stub"3
2
2
+
class="stub"5
2
3
+…+
class="stub"2n-1
2
n
+
class="stub"2n+1
2
n+1
②…(10分)
①-②,得
class="stub"1
2
Tn=
class="stub"3
2
+
class="stub"2
2
2
+
class="stub"2
2
3
+…+
class="stub"2
2
n
-
class="stub"2n+1
2
n+1
=
class="stub"5
2
-
class="stub"2n+5
2
n+1
,
即Tn=5-
class="stub"2n+5
2
n
.…(12分)
∵n∈N*,∴
class="stub"2n+5
2
n
>0
∴Tn<5.…(13分)
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已知Sn为等差数列{an}的前n项
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已知数列{an}是一个公差大于0
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已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn,4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立.(Ⅰ)求a1;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设bn=2an-1,Tn为数列{anbn}的前n项
题目详情
(Ⅰ)求a1;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=
答案
a1=3或a1=-1,由条件an>0,所以a1=3. …(2分)
(Ⅱ)当n≥2时,4Sn=an2+2an-3,4sn-1=an-12+2an-1-3;
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