首页 > 已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=（n+1）an；（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实

已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=（n+1）an；（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实

题目简介

已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=（n+1）an；（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实

题目详情

已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{bn}满足2bn=（n+1）an；
（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{cn}满足 cn+1-cn=(
1
2
)n(n∈N*)，其中c1=1，f（n）=bn+cn，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N*）．
题型：解答题难度：中档来源：浦东新区一模

答案

（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8．
所以an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，bn=n2+class="stub"a
2
n+class="stub"a-2
2
=(n+class="stub"a
4
)2-(class="stub"a-4
4
)2，…（6分）
由题意得：class="stub"9
2
≤-class="stub"a
4
≤class="stub"11
2
，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn+1-cn=(class="stub"1
2
)n，
所以cn=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn-cn-1）=1+class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+…+(class="stub"1
2
)n-2+(class="stub"1
2
)n-1=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
=2-class="stub"1
2n-1
…（13分）
所以f（n）=bn+cn=n2+class="stub"a
2
n+class="stub"a-2
2
+2-(class="stub"1
2
)n-1，
则f(n+1)=(n+1)2+class="stub"a
2
(n+1)+class="stub"a-2
2
+2-(class="stub"1
2
)n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+class="stub"a
2
(n+1)+class="stub"a-2
2
+2-(class="stub"1
2
)n]-[n2+class="stub"a
2
n+class="stub"a-2
2
+2-(class="stub"1
2
)n-1]=2n+1+(class="stub"1
2
)n-10=2n+(class="stub"1
2
)n-9…（14分）
所以当k＞10时，f(n+1)-f(n)=2n+(class="stub"1
2
)n-9＞0
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以当1≤n≤4时，f(n+1)-f(n)=2n+(class="stub"1
2
)n-9＜8+class="stub"1
2
-9＜0
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）
f(n)=n2+class="stub"a
2
n+class="stub"a-2
2
+2-(class="stub"1
2
)n-1=n2-10n-9-(class="stub"1
2
)n-1
所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-class="stub"545
16
…（18分）

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