首页 > 设函数f(x)=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k

设函数f(x)=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k

题目简介

设函数f(x)=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k

题目详情

设函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx．
（Ⅰ）当a=b=
1
2
时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+
1
2
ax2+bx+
a
x
，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤
1
2
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=b=class="stub"1
2
时，f(x)=lnx-class="stub"1
4
x2-class="stub"1
2
x，f′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
2
x-class="stub"1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
（2′）
令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值为f(1)=-class="stub"3
4
，此即为最大值…（4分）
（II）F(x)=lnx+class="stub"a
x
，x∈（0，3]，则有k=F′(x0)=
x0-a
x20
≤class="stub"1
2
，在x0∈（0，3]上恒成立，
所以a≥(-class="stub"1
2
x20
+x0)max，x0∈（0，3]，
当x0=1时，-class="stub"1
2
x20
+x0取得最大值class="stub"1
2
，
所以a≥class="stub"1
2
…（8分）
（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则g′(x)=
2x2-2mx-2m
x
．
令g'（x）=0，x2-mx-m=0．因为m＞0，x＞0，
所以x1=
m-
m2+4m
2
＜0（舍去），x2=
m+
m2+4m
2
，
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）
则
g(x2)=0
g′(x2)=0
既
x22
-2mlnx2-2mx2=0
x22
-mx2-m=0.

所以2mlnx2+mx2-m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即
m+
m2+4m
2
=1，解得m=class="stub"1
2
．…（12分）

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