已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n2+12an.(1)证明:an+1+an=4n+2;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设f(n)=(1-1a1)(1-1a2)..(1

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n2+12an.(1)证明:an+1+an=4n+2;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设f(n)=(1-1a1)(1-1a2)..(1

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n都有Sn=n2+
1
2
an
(1)证明:an+1+an=4n+2;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设f(n)=(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)..(1-
1
an
2n+1
,求证:f(n+1)<f(n)对一切n∈N×都成立.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵Sn=n2+class="stub"1
2
an.①
∴Sn+1=(n+1)2+class="stub"1
2
an+1.②
∴②-①得:an+1+an=4n+2;
(2)∵an+1+an=4n+2;
∴an+1-2(n+1)=-(an-2n)=…=(-1)n(a1-2);
又a1=2
∴an=2n
(3)∵f(n)=(1-class="stub"1
2
)(1-class="stub"1
4
)(1-class="stub"1
6
)…(1-class="stub"1
2n
2n+1

f(n+1)
f(n)
4n2+8n+3
4n2+8n+4
 <1

∴f(n+1)<f(n)对一切n∈N×都成立.

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