首页 > 设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤25，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（1

设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤25，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（1

题目简介

设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤25，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（1

题目详情

设双曲线
x2
4
-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2
5
，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（
1
5
，
5
5
），则n最大取值为______．
题型：填空题难度：中档来源：上海二模

答案

由题意，得a2=4，b2=1，c=
a2+b2
=
5
，可得 双曲线 的右准线为：x=
a2
c
，即x=
4
5
5

设Pk坐标为（xk，yk），Pk到右准线的距离为dk（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得
|PkF|
dk
=e=
5
2
，
∴|PkF|=
5
2
dk=
5
2
（xk-
4
5
5
）=
5
2
xk-2
∵|PkF|的长度为ak，∴ak=
5
2
xk-2
∵数列{an}成等差数列，且公差d∈（class="stub"1
5
，
5
5
），
∴
an-a1
n-1
=
5
2
(xn-x1)
n-1
∈（class="stub"1
5
，
5
5
），
∵2≤xk≤2
5
，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数
∴0＜xn-x1≤2
5
-2，得n取最大值时d=
5
2
(2
5
-2)
n-1
=
5-
5
n-1

∴class="stub"1
5
＜
5-
5
n-1
＜
5
5
，解之得5
5
-4＜n＜26-5
5

因为26-5
5
≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14
故答案为：14

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