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> 已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量BC=(1,2).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设
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题目简介
已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量BC=(1,2).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设
题目详情
已知数列{a
n
}中,a
1
=6,a
n+1
=a
n
+1,数列{b
n
},点(n,b
n
)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量
BC
=(1,2).
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)设c
n
=2
b
n
,在a
k
与a
k+1
之间插入k个c
k
,依次构成新数列,试求该数列的前2013项之和;
(3)对任意正整数n,不等式(1+
1
b
1
)(1+
1
b
2
)•…•(1+
1
b
n
)-a
n-2+
a
n
≥0恒成立,求正数a的范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:东坡区一模
答案
(1)∵an+1-an=1且a1=6,∴an=n+5,…(1分)
设l上任意一点P(x,y),则
AP
=(x,y-1),
由已知可得
AP
∥
BC
.
∴y=2x+1,又l过点(n,bn),
∴bn=2n+1.…(4分)
(2)新数列:a1,c1,a2,c2,c2,a3,c3,c3,c3,a4,…,ak,ck,…,ak+1,
共计项数:k+1+
class="stub"k+1
2
•k
经估算k=62,k+1+
class="stub"k+1
2
•k=2016,项数接近2013,…(5分)
∴S2013=(a1+a2+…+a62)+(1×c1+2×c2+…+62×c62)-2c62 …(6分)
令T=1×c1+2×c2+…+62×c62,
T=1×23+2×25+3×27+…+62×2125
4T=1×25+2×27+…+61×2125+62×2127
两式相减得:T=
class="stub"8+185×2127
9
…(8分)
∴S2013=
class="stub"6+67
2
+
class="stub"8+185×2127
9
-2×2125=2263+
class="stub"8+722×2125
9
.…(9分)
(3)变量分离得:a≤
(1+
class="stub"1
b
1
)(1+
class="stub"1
b
2
)…(1+
class="stub"1
b
n
)
2n+3
恒成立.…(10分)
令g(n)=
(1+
class="stub"1
b
1
)(1+
class="stub"1
b
2
)…(1+
class="stub"1
b
n
)
2n+3
…(11分)
∴
g(n+1)
g(n)
=
(1+
class="stub"1
b
1
)(1+
class="stub"1
b
2
)…(1+
class="stub"1
b
n
)(1+
class="stub"1
b
n+1
)
2n+5
×
2n+3
(1+
class="stub"1
b
1
)(1+
class="stub"1
b
2
)×…×(1+
class="stub"1
b
n
)
=
class="stub"2n+4
2n+3
2n+5
≥1…(13分)
∵{g(n)}递增数列.
∴a∈(0,g(1))=(0,
class="stub"4
15
5
].…(14分)
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题目简介
已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量BC=(1,2).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设
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由已知可得
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T=1×23+2×25+3×27+…+62×2125
4T=1×25+2×27+…+61×2125+62×2127
两式相减得:T=
∴S2013=
(3)变量分离得:a≤
令g(n)=
∴
=
∵{g(n)}递增数列.
∴a∈(0,g(1))=(0,