已知函数f(x)=23sinωxcosωx-2sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π,(Ⅰ)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的取值范围;(Ⅱ)若α是锐角,且f(a2-π6)=65,求cosα的

题目简介

已知函数f(x)=23sinωxcosωx-2sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π,(Ⅰ)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的取值范围;(Ⅱ)若α是锐角,且f(a2-π6)=65,求cosα的

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinωxcosωx-2sin2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π,
(Ⅰ)当x∈[0,
π
2
]时,求函数f(x)的取值范围;
(Ⅱ)若α是锐角,且f(
a
2
-
π
6
)=
6
5
,求cosα的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)函数f(x)=2
3
sinωxcosωx-2sin2ωx+1
=
3
sin2ωx-2×class="stub"1-cos2ωx
2
+1

=2sin(2ωx+class="stub"π
6
).
因为函数f(x)的最小正周期为π,即class="stub"2π
,∴ω=1.
∴f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
).
∵x∈[0,class="stub"π
2
],∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
,class="stub"7π
6
]
,2sin(2x+class="stub"π
6
)∈[-1,2].
∴f(x)的取值范围为[-1,2].
(II)由(1)可知f(class="stub"a
2
-class="stub"π
6
)=2sin(α-class="stub"π
6
)=class="stub"6
5

∴sin(α-class="stub"π
6
)=class="stub"3
5
,∵α是锐角
cos(α-class="stub"π
6
)=class="stub"4
5

∴cosα=cos[(α-class="stub"π
6
)+class="stub"π
6
]
=cos(α-class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
-sin(α-class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6

=class="stub"4
5
×
3
2
-class="stub"3
5
×class="stub"1
2
=
4
3
-3
10

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