已知a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π2).(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-j)=1010,0<j<π2,求j的值.-数学

题目简介

已知a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π2).(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-j)=1010,0<j<π2,求j的值.-数学

题目详情

已知
a
=(sinθ,-2)与
b
=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,
π
2
).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-j)=
10
10
,0<j<
π
2
,求j的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为
a
b
互相垂直,
所以
a
b
=0.
所以sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.
因为sin2θ+cos2θ=1,
所以(2cosθ)2+cos2θ=1.
解得cos2θ=class="stub"1
5
.则sin2θ=class="stub"4
5

因为θ∈(0,class="stub"π
2
),
所以sinθ>0,cosθ>0,
所以sinθ=
2
5
5
,cosθ=
5
5

(2)因为0<j<class="stub"π
2
,0<θ<class="stub"π
2
,所以-class="stub"π
2
<θ-j<class="stub"π
2

所以cos(θ-j)=
1-sin2(θ-j)
=
3
10
10

所以cosj=cos[θ-(θ-j)]=cosθcos(θ-j)+sinθsin(θ-j)=
2
2
.所以j=class="stub"π
4

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