首页 > （理）设a=(cosα，(λ-1)sinα)，b=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a+b与a-b相互垂直，（1）求实数λ的值；（2）若a•b=45，且ta

（理）设a=(cosα，(λ-1)sinα)，b=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a+b与a-b相互垂直，（1）求实数λ的值；（2）若a•b=45，且ta

题目简介

（理）设a=(cosα，(λ-1)sinα)，b=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a+b与a-b相互垂直，（1）求实数λ的值；（2）若a•b=45，且ta

题目详情

（理）设
a
=(cosα，(λ-1)sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜
π
2
)是平面上的两个向量，若向量
a
+
b
与
a
-
b
相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，且tanα=
4
3
，求α的值（结果用反三角函数值表示）
题型：解答题难度：中档来源：静安区一模

答案

（1）由题设，得(
a
+
b
)(
a
-
b
)=0，
即|
a
|2-|
b
|2=0，
所以，（λ-1）2sin2α-sin2α=0，
即λ（λ-2）sin2α=0
因为0＜α＜class="stub"π
2
，
∴sin2α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，
∴
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，
又
a
•
b
=class="stub"4
5
，
∴cos(α-β)=class="stub"4
5
，
∵0＜α＜β＜class="stub"π
2
，则-class="stub"π
2
＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-class="stub"3
5
，tan(α-β)=-class="stub"3
4
，
∴tanα=tan[(α-β)+β]=class="stub"7
24
，
又0＜α＜class="stub"π
2
，
∴α=arctanclass="stub"7
24
．

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