首页 > 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a，b)，n=(b，c)．（Ⅰ）若向量m∥n求满足3sinB+cosB-3=0的角B的值；（Ⅱ）若A-C=π3，试用角B表示角A与C；（Ⅲ）若

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a，b)，n=(b，c)．（Ⅰ）若向量m∥n求满足3sinB+cosB-3=0的角B的值；（Ⅱ）若A-C=π3，试用角B表示角A与C；（Ⅲ）若

题目简介

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a，b)，n=(b，c)．（Ⅰ）若向量m∥n求满足3sinB+cosB-3=0的角B的值；（Ⅱ）若A-C=π3，试用角B表示角A与C；（Ⅲ）若

题目详情

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=(a，b)，
n
=(b，c)．
（Ⅰ）若向量
m
∥
n
求满足
3
sinB+cosB-
3
=0的角B的值；
（Ⅱ）若A-C=
π
3
，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若
m
•
n
=2b2，且A-C=
π
3
，求cosB的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
m
=(a，b)，
n
=(b，c)，
m
∥
n
，
∴b2=ac，
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
≥class="stub"2ac-ac
2ac
=class="stub"1
2
，
当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤class="stub"π
3
．
由
3
sinB+cosB-
3
=0
得：sin(B+class="stub"π
6
)=
3
2
，
∵B+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
6
，class="stub"π
2
]，
∴B+class="stub"π
6
=class="stub"π
3
，∴B=class="stub"π
6
．
（Ⅱ）在△ABC中，∵A-C=class="stub"π
3
，A+C=π-B，∴A=class="stub"2π
3
-class="stub"B
2
，C=class="stub"π
3
-class="stub"B
2

（Ⅲ）∵
m
•
n
=2b2，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由A-C=class="stub"π
3
及（Ⅱ）的结论得：
∴sin(class="stub"2π
3
-class="stub"B
2
)+sin(class="stub"π
3
-class="stub"B
2
)=2sinB，
展开化简，得
3
cosclass="stub"B
2
=2×2sinclass="stub"B
2
cosclass="stub"B
2
，
∵cosclass="stub"B
2
≠0，∴sinclass="stub"B
2
=
3
4
，
∴cosB=1-2sin2class="stub"B
2
=1-class="stub"3
8
=class="stub"5
8
．

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