已知向量a=(sinx,cosx),b=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),设函数f(x)=a•b-2.(1)求函数f(x)的最大值,并求取得最大值时x的值;(2)在A为锐角的△ABC中

题目简介

已知向量a=(sinx,cosx),b=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),设函数f(x)=a•b-2.(1)求函数f(x)的最大值,并求取得最大值时x的值;(2)在A为锐角的△ABC中

题目详情

已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),设函数f(x)=
a
b
-2.
(1)求函数f(x)的最大值,并求取得最大值时x的值;
(2)在A为锐角的△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,若f(A)=4且△ABC的面积为3,b+c=2+3
2
,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx),
∴f(x)=
a
b
-2=sinx(6sinx+cosx)+cosx(7sinx-2cosx)-2
=6sin2x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos2x-2
=6sin2x-2cos2x-2(sin2x+cos2x)+8sinxcosx
=4(sin2x-cos2x)+4sin2x
=4sin2x-4cos2x
=4
2
sin(2x-class="stub"π
4
),
∵sin(2x-class="stub"π
4
)∈[-1,1],
∴当2x-class="stub"π
4
=2kπ+class="stub"π
2
,即x=kπ+class="stub"3π
8
时,正弦函数sin(2x-class="stub"π
4
)取得最大值,且最大值为1,
则f(x)的最大值为4
2
,此时x=kπ+class="stub"3π
8

(2)由f(A)=4,得到4
2
sin(2A-class="stub"π
4
)=4,即sin(2A-class="stub"π
4
)=
2
2

又A为三角形的内角,∴2A-class="stub"π
4
=class="stub"π
4
或2A-class="stub"π
4
=class="stub"3π
4

解得:A=class="stub"π
4
或A=class="stub"π
2
(由A为锐角,故舍去),
∴A=class="stub"π
4

又三角形的面积为3,
∴S=class="stub"1
2
bcsinA=3,即bc=6
2
,又b+c=2+3
2

由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-
2
bc=(b+c)2-2bc-
2
bc
=(2+3
2
)2-12
2
-12=10,
则a=
10

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