首页 > 设a=(cosx-sinx，2sinx)，b=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=a•b，给出下列四个命题：①函数在区间[π8，5π8]上是减函数；②把f（x）图象按向量v=(-π8，0)平移

设a=(cosx-sinx，2sinx)，b=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=a•b，给出下列四个命题：①函数在区间[π8，5π8]上是减函数；②把f（x）图象按向量v=(-π8，0)平移

题目简介

设a=(cosx-sinx，2sinx)，b=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=a•b，给出下列四个命题：①函数在区间[π8，5π8]上是减函数；②把f（x）图象按向量v=(-π8，0)平移

题目详情

设
a
=(cosx-sinx，2sinx)，
b
=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=
a
•
b
，给出下列四个命题：
①函数在区间[
π
8
，
5π
8
]上是减函数；
②把f（x）图象按向量
v
=(-
π
8
，0)平移后得到函数g（x）的图象，则g（x）是偶函数；
③存在x∈(0，
π
4
)使f(x)=
2
3

④函数y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正确命题的序号是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵
a
=(cosx-sinx，2sinx)，
b
=(cosx+sinx，cosx)，
∴f(x)=
a
•
b
=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=
2
sin（2x+class="stub"π
4
）
①∵令2x+class="stub"π
4
∈[class="stub"π
2
+2kπ，class="stub"3π
2
+2kπ]（k∈Z），可得x∈[class="stub"π
8
+kπ，class="stub"5π
8
+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得区间[class="stub"π
8
，class="stub"5π
8
]是函数f（x）的一个减区间，故①正确；
②把f（x）图象按向量
v
=(-class="stub"π
8
，0)平移后，得到y=f（x+class="stub"π
8
）=
2
sin[2（x+class="stub"π
8
）+class="stub"π
4
]=
2
sin（2x+class="stub"π
2
），
即y=
2
cos2x的图象，所以平移后的图象为偶函数，故②正确；
③当x∈(0，class="stub"π
4
)时，2x+class="stub"π
4
∈（class="stub"π
4
，class="stub"π
2
），可得sin（2x+class="stub"π
4
）∈（
2
2
，1）
∴f（x）=
2
sin（2x+class="stub"π
4
）∈（1，
2
）．故不存在x∈(0，class="stub"π
4
)使f(x)=class="stub"2
3
，从而③不正确；
④∵f（x）=
2
sin（2x+class="stub"π
4
）的周期为T=class="stub"2π
2
=π，
∴y=|f（x）|的周期为class="stub"1
2
×π=class="stub"π
2
，因此④不正确
综上所述，可得正确的命题只有①②
故答案为：①②

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