已知命题p:“∀x∈[1,2],12x2-lnx-a≥0”与命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,则实数a的取值范围______.-数学

题目简介

已知命题p:“∀x∈[1,2],12x2-lnx-a≥0”与命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,则实数a的取值范围______.-数学

题目详情

已知命题p:“∀x∈[1,2],
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x2-lnx-a≥0”与命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,则实数a的取值范围______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵∀x∈[1,2],class="stub"1
2
x2-lnx-a≥0
∴a≤class="stub"1
2
x2-lnx,x∈[1,2]

令:f(x)=class="stub"1
2
x2-lnx,x∈[1,2]

则f′(x)=x-class="stub"1
x

∵f′(x)>0
∴f(x)在[1,2]上增函数
∴f(x)的最小值为class="stub"1
2

∴a≤class="stub"1
2

又命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”是真命题
∴△=4a2+32+24a≥0
∴a≥-2或a≤-4
又∵命题p:“∀x∈[1,2],class="stub"1
2
x2-lnx-a≥0”与命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题
∴实数a的取值范围 是(-∞,-4]∪[-2,class="stub"1
2
]

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