已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)和f(x-1)都是奇函数.对x∈R有以下结论:①f(x+2)=f(x);②f(x+3)=f(x);③f(x+4)=f(x);④f(x+2)是奇函数;⑤f(

题目简介

已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)和f(x-1)都是奇函数.对x∈R有以下结论:①f(x+2)=f(x);②f(x+3)=f(x);③f(x+4)=f(x);④f(x+2)是奇函数;⑤f(

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已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)和f(x-1)都是奇函数.对x∈R有以下结论:
①f(x+2)=f(x);
②f(x+3)=f(x);
③f(x+4)=f(x);
④f(x+2)是奇函数;
⑤f(x+3)是奇函数.
其中一定成立的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

∵f(x+1)和f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1);f(-x-1)=-f(x-1).
f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=-f(-x)=-f[-(x-1)-1]=f[(x-1)-1]=f(x-2);
∴f(x+2)=f(x)∴①不成立;
∵f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=f(x-1);∴②不成立;
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x),函数是以4为周期的周期函数,③成立;
∵f(x+2)=-f(-x),∴④不成立;
∴f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=-f(-x+3).∴f(x+3)是奇函数.⑤成立.
故选B

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