首页 > 已知函数f（x）=sin（x+π6）+sin（x-π6）+cosx+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在[-π2，π2]上的最大值与最小值之和为3，求实数a

已知函数f（x）=sin（x+π6）+sin（x-π6）+cosx+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在[-π2，π2]上的最大值与最小值之和为3，求实数a

题目简介

已知函数f（x）=sin（x+π6）+sin（x-π6）+cosx+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在[-π2，π2]上的最大值与最小值之和为3，求实数a

题目详情

已知函数f（x）=sin（x+
π
6
）+sin（x-
π
6
）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上的最大值与最小值之和为
3
，求实数a的值．
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+class="stub"π
6
）+sin（x-class="stub"π
6
）+cosx+a
=sinxcosclass="stub"π
6
+cosxsinclass="stub"π
6
+sinxcosclass="stub"π
6
-cosxsinclass="stub"π
6
+cosx+a
=
3
sinx+cosx+a=2（
3
2
sinx+class="stub"1
2
cosx）+a=2sin（x+class="stub"π
6
）+a，（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-class="stub"π
2
，class="stub"π
2
]，∴-class="stub"π
3
≤x+class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3
，
∴当x+class="stub"π
6
=-class="stub"π
3
，即x=-class="stub"π
2
时，f（x）的最小值=f（-class="stub"π
2
）=-
3
+a，（8分）
当x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即x=class="stub"π
3
时，f（x）的最大值=f（class="stub"π
3
）=2+a，（10分）
由题意，有（-
3
+a）+（2+a）=
3
，
∴a=
3
-1．（12分）

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