首页 > 已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|MA|=|MC|，GM=λAB(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|MA|=|MC|，GM=λAB(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则

题目简介

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|MA|=|MC|，GM=λAB(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则

题目详情

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则该三角形的重心坐标为G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求点C的轨迹E的方程．
（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F1PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．
题型：解答题难度：中档来源：青州市模拟

答案

（1）设C（x，y），则G(class="stub"x
3
，class="stub"y
3
)．
∵
GM
=λ
AB
（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则M(class="stub"x
3
，0)．
又∵|
MA
|=|
MC
|，∴
(class="stub"x
3
)2+(0+1)2
=
(class="stub"x
3
-x)2+y2
．整理得
x2
3
+y2=1(x≠0)．

（2）由（1），知F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．设直线l的方程为x=ty+
2
，
由（1），知x≠0，∴l不过点（0，±1），∴t≠±
2

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将x=ty+
2
代入x2+3y2=3，(t2+3)y2+2
2
ty-1=0．
∴△=8t2+4（t2+3）=12（t2+1）＞0恒成立．∴y1+y2=
-2
2
t
t2+3
，y1•y2=-class="stub"1
t2+3
．
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
12(t2+1)
(t2+3)2
=
2
3
t2+1
t2+3
．
∴S△F1PQ=class="stub"1
2
|F1F2|•|y1-y2|=
2
|y1-y2|=2
6
t2+1
t2+3
(t≠±
2
)．
∴S△F1PQ=
2
6
t2+1
+class="stub"2
t2+1
≤
2
6
2
2
=
3
．
当且仅当t2+1=2，即t=±1时取“=”
所以△F1PQ的最大值为
3
，此时直线l的方程为x±y-
2
=0．

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