数列{an}满足a1=1,1a2n+4=1an+1,记数列{an2}前n项的和为Sn,若S2n+1-Sn≤t30对任意的n∈N*恒成立,则正整数t的最小值为()A.10B.9C.8D.7-数学

题目简介

数列{an}满足a1=1,1a2n+4=1an+1,记数列{an2}前n项的和为Sn,若S2n+1-Sn≤t30对任意的n∈N*恒成立,则正整数t的最小值为()A.10B.9C.8D.7-数学

题目详情

数列{an}满足a1=1,
1
a2n
+4
=
1
an+1
,记数列{an2}前n项的和为Sn,若S2n+1-Sn
t
30
对任意的n∈N* 恒成立,则正整数t的最小值为(  )
A.10B.9C.8D.7
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

class="stub"1
a2n
+4
=class="stub"1
an+1
,∴class="stub"1
an+12
=class="stub"1
an2
+4

class="stub"1
an+12
-class="stub"1
an2
=4
(n∈N*),
∴{class="stub"1
an2
}是首项为1,公差为4的等差数列,
class="stub"1
an2
=1+4(n-1)=4n-3,∴an2=class="stub"1
4n-3

∵(S2n+1-Sn)-(S2n+3-Sn+1)
=(an+12+an+22+…+a2n+12)-(an+22+an+32+…+a2n+32)
=an+12-a2n+22-a2n+32
=class="stub"1
4n-1
-class="stub"1
8n+5
-class="stub"1
8n+9

=(class="stub"1
8n+2
-class="stub"1
8n+5
)+(class="stub"1
8n+2
-class="stub"1
8n+9
)
>0,
∴数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)是递减数列,
数列{S2n+1-Sn}(n∈N*)的最大项为
S3-S1=a22+a32=class="stub"1
5
+class="stub"1
9
=class="stub"14
45

class="stub"14
45
class="stub"m
30
,∴m≥class="stub"28
3

又∵m是正整数,
∴m的最小值为10.
故选A.

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