首页 > 必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）是否存在-数学

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）是否存在-数学

题目简介

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）是否存在-数学

题目详情

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵（（2+x）n的展开式的通项为：Tr+1=Cnr2n-rxr（r=0，1，2…n）
令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
（II）若存在等差数列{bn}，满足已知条件
则当n=1时，b1=a1=1
当n=2时，a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2，所以b2=2
当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3，所以b3=3
由上述结果，猜想bn=n
下面证明：当bn=n时，an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立
即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
（法一）设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn
S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1
则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n（Cn0+Cn1+…+Cnn）=n•2n
∴S=n•2n-1
即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
（法二）∵kCnk=kclass="stub"n!
k!(n-k)!
=class="stub"n!
(k-1)!(n-k)!
=n
(n-1)!
(k-1)![(n-1)-(k-1)]!
=nCn-1k-1
∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1）=n•2n-1
综上可得，存在等差数列bn=n满足已知条件．

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