首页 > 已知函数f(x)=2sin(x+π6)-2cosx．（1）当x∈[π2，π]时，若sinx=45，求函数f（x）的值；（2）当x∈[π2，π]时，求函数h(x)=3sin(π6-x)-cos(2x-π

已知函数f(x)=2sin(x+π6)-2cosx．（1）当x∈[π2，π]时，若sinx=45，求函数f（x）的值；（2）当x∈[π2，π]时，求函数h(x)=3sin(π6-x)-cos(2x-π

题目简介

已知函数f(x)=2sin(x+π6)-2cosx．（1）当x∈[π2，π]时，若sinx=45，求函数f（x）的值；（2）当x∈[π2，π]时，求函数h(x)=3sin(π6-x)-cos(2x-π

题目详情

已知函数f(x)=2sin(x+
π
6
)-2cosx．
（1）当x∈[
π
2
，π]时，若sinx=
4
5
，求函数f（x）的值；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数h(x)=3sin(
π
6
-x)-cos(2x-
π
3
)的值域；
（3）把函数y=f（x）的图象按向量
m
平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出|
m
|最小的向量
m
的坐标．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵sinx=class="stub"4
5
，x∈[class="stub"π
2
， π]，∴cosx=-class="stub"3
5
，
f(x)=2(
3
2
sinx+class="stub"1
2
cosx)-2cosx=
3
sinx-cosx=class="stub"4
5
3
+class="stub"3
5
．
（2）∵class="stub"π
2
≤x≤π，∴class="stub"π
3
≤x-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，class="stub"1
2
≤sin(x-class="stub"π
6
)≤1，
h(x)=3sin(class="stub"π
6
-x)-cos(2x-class="stub"π
3
)=2[sin(x-class="stub"π
6
)-class="stub"3
4
]2-class="stub"17
8
∈[-class="stub"17
8
，-2]．
（3）设
m
=(a，b)，所以g(x)=2sin(x-a-class="stub"π
6
)+b，
要使g（x）是偶函数，即要-a-class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
，即a=-kπ-class="stub"2π
3
，|
m
|=
a2+b2
=
(kπ+class="stub"2π
3
)2+b2
，
当k=-1时，|
m
|最小，此时a=class="stub"π
3
，b=0，即向量
m
的坐标为(class="stub"π
3
，0)．

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