已知sinα+cosα=355,α∈(0,π4),sin(β-π4)=35,β∈(π4,π2).则cos(α+2β)的值为______.-数学

题目简介

已知sinα+cosα=355,α∈(0,π4),sin(β-π4)=35,β∈(π4,π2).则cos(α+2β)的值为______.-数学

题目详情

已知sin α+cos α=
3
5
5
,α∈(0,
π
4
),sin(β-
π
4
)=
3
5
,β∈(
π
4
π
2
).则cos(α+2β)的值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵β∈(class="stub"π
4
class="stub"π
2
),β-class="stub"π
4
(0,class="stub"π
4
),∴cos(β-class="stub"π
4
)=class="stub"4
5
,于是sin2(β-class="stub"π
4
)=2sin(β-class="stub"π
4
)cos(β-class="stub"π
4
)=class="stub"24
25

又sin2(β-class="stub"π
4
)=-cos2β,∴cos2β=-class="stub"24
25

又2β∈(class="stub"π
2
,π),∴sin2β=class="stub"7
25

由sin α+cos α=
3
5
5
,α∈(0,class="stub"π
4
),以及cos2α+sin2α=1,可得cosα=class="stub"2
5
,sinα=class="stub"1
5

∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=
2
5
5
×class="stub"-24
25
-
5
5
×class="stub"7
25
=-
11
5
25

故答案为-
11
5
25

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