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已知tan(α+β)=12，tan(β-π4)=13，则sin(π4+α)•sin(π4-α)=______．-数学

题目简介

已知tan(α+β)=12，tan(β-π4)=13，则sin(π4+α)•sin(π4-α)=______．-数学

题目详情

已知tan(α+β)=
1
2
，tan(β-
π
4
)=
1
3
，则sin(
π
4
+α)•sin(
π
4
-α)=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵tan(α+β)=class="stub"1
2
，tan(β-class="stub"π
4
)=class="stub"1
3
，∴tan(α+class="stub"π
4
)=tan[(α+β)-(β-class="stub"π
4
)]=
tan(α+β)-tan(β-class="stub"π
4
)
1+tan(α+β)tan(β-class="stub"π
4
)
=
class="stub"1
2
-class="stub"1
3
1+class="stub"1
2
×class="stub"1
3
=class="stub"1
7
．
∴tanα=tan(α+class="stub"π
4
-class="stub"π
4
)=
tan(α+class="stub"π
4
)-tanclass="stub"π
4
1+tan(α+class="stub"π
4
)tanclass="stub"π
4
=
class="stub"1
7
-1
1+class="stub"1
7
=-class="stub"3
4
．
∴sin(class="stub"π
4
+α)•sin(class="stub"π
4
-α)=
2
2
(cosα+sinα)•
2
2
(cosα-sinα)=class="stub"1
2
(cos2α-sin2α)=class="stub"1
2
×
cos2α-sin2α
cos2α+sin2α
=class="stub"1
2
×
1-tan2α
1+tan2α
=class="stub"1
2
×
1-(-class="stub"3
4
)2
1+(-class="stub"3
4
)2
=class="stub"7
50
．
故答案为class="stub"7
50
．

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