首页 > 已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．（1）设BC•CA=CA•AB，∠A=5π12，求△ABC中∠B的大小；（2）设向量s=(2sinC，-3)，t=(cos2C，2cos2C2-1)，且s

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．（1）设BC•CA=CA•AB，∠A=5π12，求△ABC中∠B的大小；（2）设向量s=(2sinC，-3)，t=(cos2C，2cos2C2-1)，且s

题目简介

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．（1）设BC•CA=CA•AB，∠A=5π12，求△ABC中∠B的大小；（2）设向量s=(2sinC，-3)，t=(cos2C，2cos2C2-1)，且s

题目详情

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C．
（1）设
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，∠A=
5π
12
，求△ABC中∠B的大小；
（2）设向量
s
=(2sinC，  -
3
)，
t
=(cos2C，  2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin(
π
3
-B)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
所以
CA
•(
BC
-
AB
)=0，
又
AB
+
BC
+
CA
=0，
所以
CA
=-（
AB
+
BC
），所以-（
AB
+
BC
）•（
BC
-
AB
）=0，
所以
AB
2-
.
BC
2=0，
所以|
AB
|2=|
BC
|2，即|
AB
|=|
BC
|，
故△ABC为等腰三角形． 
因为∠A=class="stub"5π
12
，所以∠B=class="stub"1
2
(π-class="stub"5π
12
)=class="stub"7π
24
．
（2）∵
s
=(2sinC，  -
3
)，
t
=(cos2C，  2cos2class="stub"C
2
-1)，且
s
∥
t
，
∴2sinC（2cos2class="stub"C
2
-1）=-
3
cos2C，
∴sin2C=-
3
cos2C，即tan2C=-
3
，
∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=class="stub"2π
3
，∴C=class="stub"π
3
．
∴A=class="stub"2π
3
-B，
∴sin（class="stub"π
3
-B）=sin[（class="stub"2π
3
-B）-class="stub"π
3
]=sin（A-class="stub"π
3
）．
又sinA=class="stub"2
3
，且A为锐角，∴cosA=
5
3
，
∴sin（class="stub"π
3
-B）=sin（A-class="stub"π
3
）
=sinAcosclass="stub"π
3
-cosAsinclass="stub"π
3

=class="stub"2
3
×class="stub"1
2
-
5
3
×
3
2
=
2-
15
6
．

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