函数f(x)=xx+1的单调增区间是______．-数学

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函数f(x)=

x+1

的单调增区间是______．

题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

函数f(x)=class="stub"x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事实上，
函数f(x)=class="stub"x

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
当x1＜x2＜-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1+1

x2+1

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x1＜x2＜-1，∴x1+1＜0，x2+1＜0，x1-x2＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
则f（x1）＜f（x2）．
所以函数f(x)=class="stub"x

x+1

在区间（-∞，-1）上为增函数；
当x1＞x2＞-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1+1

x2+1

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x1＞x2＞-1，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
则f（x1）＞f（x2）．
所以函数f(x)=class="stub"x

x+1

在区间（-1，+∞）上为增函数．
综上，函数f(x)=class="stub"x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案为（-∞，-1），（-1，+∞）．

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