已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点

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已知函数f（x）=ax³+bx²﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

题型：解答题难度：中档来源：山东省月考题

答案

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，
依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x
（2）∵f（x）=x3﹣3x，
∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，
fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2
∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|
|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4
（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
∵曲线方程为y=x3﹣3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x0，y0），切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，
下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则g′（x0）=6x02﹣6x0，
由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．
∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是，
解得﹣3＜m＜﹣2．
故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

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已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点

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