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已知函数f（x）=x2-6x+4lnx．（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说

题目简介

已知函数f（x）=x2-6x+4lnx．（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说

题目详情

已知函数f（x）=x2-6x+4lnx．
（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由．
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0，若
h(x)-g(x)
x-x0
＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．试问y=f（x）是否存在“类对称点”．若存在，请求出“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=x2-6x+4lnx，∴x＞0，f′(x)=2x+class="stub"4
x
-6，
∵f′(x)≥2
2x×class="stub"4
x
-6=4
2
-6＞-6，故不存在6x+y+m=0这类直线的切线；
由2x+class="stub"4
x
-6=3，解得x=class="stub"1
2
，4．
当x=class="stub"1
2
时，f(class="stub"1
2
)=-class="stub"11
4
-4ln2，把点(class="stub"1
2
，-class="stub"11
4
-4ln2)代入方程3x-y+n=0，解得n=-class="stub"17
4
-4ln2；
当x=4时，f（4）=-8+4ln4，把点（4，-8+4ln4）代入方程3x-y+n=0，解得n=4ln4-20．
（2）设点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g（x），则g（x）-(
x20
-6x0+4lnx0)=(2x0+class="stub"4
x0
-6)(x-x0)，
∴g（x）=(
x20
-6x0+4lnx0)+(2x0+class="stub"4
x0
-6)(x-x0)，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x2-6x+4lnx-(
x20
-6x0+4lnx0)-(2x0+class="stub"4
x0
-6)(x-x0)，
则φ（x0）=0．
φ′（x）=2x+class="stub"4
x
-6-(2x0+class="stub"4
x0
-6)=class="stub"2
x0
(x-x0)(x0-class="stub"2
x
)，
当x0＜
2
时，φ（x）在(x0，class="stub"2
x0
)上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴x∈(x0，class="stub"2
x0
)时，φ（x）＜φ（x0）=0．
从而x∈(x0，class="stub"2
x0
)时，
φ(x)
x-x0
＜0．
当x0＞
2
时，φ（x）在(class="stub"2
x0
，x0)上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴x∈(class="stub"2
x0
，x0)时，φ（x）＞φ（x0）=0．
从而x∈(class="stub"2
x0
，x0)时，
φ(x)
x-x0
＜0．
∴在(0，
2
)∪(
2
，+∞)不存在“类对称点”．
当x0=
2
时，
φ ′(x)=class="stub"2
x
(x-
2
)2，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，故
φ(x)
x-x0
＞0．
因此x=
2
是一个“类对称点”的横坐标．

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