如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上.(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;(2)若将-高三数学

题目简介

如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上.(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;(2)若将-高三数学

题目详情

如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上.
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
题型:解答题难度:中档来源:月考题

答案

解:如图所示,(1)连接OC,设BC=x,矩形ABCD的面积为S;则
AB=2(其中0<x<30),
∴S=2x=2≤x2+(900﹣x2)=900,
当且仅当x2=900﹣x2,即x=15时,S取最大值900;
所以,取BC=cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900cm2。
(2)设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V,
由AB=2=2πr,得r=
∴V=πr2h=(900x﹣x3),(其中0<x<30);
由V'=(900﹣3x2)=0,得x=10
因此V=(900x﹣x3)在上是增函数,在(10,30)上是减函数;
∴当x=10时,V的最大值为
即取BC=10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3.

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