已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值。-高二数学

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已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值。-高二数学

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已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值。
题型:解答题难度:中档来源:同步题

答案

解:∵f(x)=x2e-ax(a>0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x),
令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得
∴f(x)在(-∞,0),上是减函数,在上是增函数,
,即a>2时,f(x)在(1,2)上是减函数,
∴f(x)max=f(1)=e-a,
,即1≤a≤2时,f(x)在上是增函数,在上是减函数,

,即0<a<1时,f(x)在(1,2)上是增函数,
∴f(x)max=f(2)=4e-2a,
综合所述,当0<a<1时,f(x)的最大值为4e-2a;
当1≤a≤2时。f(x)的最大值为
当a>2时,f(x)的最大值为e-a,

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