设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______.-数学

题目简介

设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______.-数学

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设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴,y轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

因为f'(x)=(e-x)'=-e-x,所以切线l的斜率为-e-t,
故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即e-tx+y-e-t(t+1)=0
令y=0得x=t+1,又令x=0得y=e-t(t+1)
所以S(t)=class="stub"1
2
(t+1)•e-1(t+1)=class="stub"1
2
(t+1)2e-1
从而S′(t)=class="stub"1
2
e-1(1-t)(1+t).
∵当t∈(0,1)时,S'(t)>0,当t∈(1,+∞)时,S'(t)<0,
∴S(t)的最大值为S(1)=class="stub"2
e

故答案为:class="stub"2
e

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