已知函数f(x)=13x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.-数学

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已知函数f(x)=13x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.-数学

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已知函数f(x)=
1
3
x3+x2-3x+m
的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

函数的导数为f'(x)=x2+2x-3,由f'(x)=x2+2x-3=0得,x=1或x=-3.
当x>1或x<-3时,f'(x)>0.函数递增.
当-3<x<1时,f'(x)<0,函数递减,
所以当x=-3时,函数取得极大值f(-3)=9+m.当x=1时,函数取得极小值f(1)=m-class="stub"5
3

要使函数f(x)=class="stub"1
3
x3+x2-3x+m
的图象恰好与x轴只有一个交点,则极大值f(-3)=9+m<0或极小值f(1)=m-class="stub"5
3
>0,
即m<-9或m>class="stub"5
3

故答案为:m<-9或m>class="stub"5
3

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