已知曲线C:f(x)=x+ax(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标-

题目简介

已知曲线C:f(x)=x+ax(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标-

题目详情

已知曲线C:f(x)=x+
a
x
(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点.则△OMN与△ABP的面积之比为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由题意设点P(x0,x0+class="stub"a
x0
),则B(0,x0+class="stub"a
x0
),
又与直线l垂直的直线向斜率为-1,故方程为y-(x0+class="stub"a
x0
)=-(x-x0)
和方程y=x联立可得x=y=x0+class="stub"a
2x0
,故点A(x0+class="stub"a
2x0
,x0+class="stub"a
2x0
),
故△ABP的面积S=class="stub"1
2
|x0||x0+class="stub"a
2x0
-(x0+class="stub"a
x0
)|
=class="stub"1
2
|x0||class="stub"a
2x0
|=class="stub"1
4
a,解得a=2,
又因为f(x)=x+class="stub"a
x
,所以f′(x)=1-class="stub"a
x2
,故切线率为k=1-class="stub"a
x20

故切线的方程为y-(x0+class="stub"a
x0
)=(1-class="stub"a
x20
)(x-x0),
令x=0,可得y=class="stub"2a
x0
,故点N(0,class="stub"2a
x0
),
联立方程y=x可解得x=y=2x0,即点M(2x0,2x0),
故△OMN的面积为 class="stub"1
2
•|class="stub"2a
x0
||2x0|=2a,
则△OMN与△ABP的面积之比为 8.
故答案为:8.

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