首页 > 已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）

已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）

题目简介

已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）

题目详情

已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．
（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）
（Ⅱ）若A（
e
e-1
，
1
e-1
），求实数k，b的值．
题型：解答题难度：中档来源：郑州二模

答案

（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
则h′(x)=class="stub"1
x
-e=-class="stub"e
x
(x-class="stub"1
e
)，----（1分）
当0＜x＜class="stub"1
e
时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
当x＞class="stub"1
e
时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．
所以函数h（x）的增区间为(0，class="stub"1
e
)，减区间为(class="stub"1
e
，+∞)．
∴x=class="stub"1
e
时，f（x）-g（x）的最大值为h(class="stub"1
e
)=-1-1+3=1；----（4分）
（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率k=class="stub"1
x0
，
故切线l：y-lnx0=class="stub"1
x0
(x-x0)，
将点A(class="stub"e
e-1
，class="stub"1
e-1
)代入直线l方程得：class="stub"1
e-1
-lnx0=class="stub"1
x0
(class="stub"e
e-1
-x0)，
即class="stub"e-1
e
lnx0+class="stub"1
x0
-1=0，----（7分）
设v(x)=class="stub"e-1
e
lnx+class="stub"1
x
-1(x＞0)，则v′(x)=class="stub"e-1
ex
-class="stub"1
x2
=class="stub"e-1
ex2
(x-class="stub"e
e-1
)，
当0＜x＜class="stub"e
e-1
时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；
当x＞class="stub"e
e-1
时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．
故方程v（x）=0至多有两个实根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以k=class="stub"1
e-1
，b=class="stub"1
1-e
为所求．----（12分）

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